对于挑战者B来说，原垄断者A在阻挠成本方面，存在着两种可能性：高成本或低成本。 纳什平衡 B不知道A的阻挠成本究竟是高是低，但他知道A在这两种不同阻挠成本下会作出的选择，以及不同阻挠成本（类型）的分布概率。 假定高成本的概率为x，则低成本的概率为（1-x）。 如果A的阻挠成本高，A将默许B进入市场；如果A的阻挠成本低，A将阻挠B进入市场。 在这两种情况下，B进入的支付函数分别是得到40和失去10。
即使他们保持沉默，他们仍然会被监禁一年。 证明过程中所需要的Sperner引理可以参看我之前的一篇文章，正方形可以被划分成五个面积相等的三角形吗——关于Monsky定理的证明. 为了完成纳什定理的证明，下面需要简单介绍一些拓扑学方面的知识.
纳什平衡: 纳什均衡 (Nash Equilibrium)
尽管纳什均衡对博弈论和经济理论有极为重要的作用，但从前文的证明过程中不难发现，纳什存在定理有一定的局限性：如果选择的集合是无限或非紧的集合，纳什均衡是完全可以不存在的。 也就是说，如果一个非合作博弈的局势达到了纳什均衡，则无论哪个局中人更改自己的策略，自己的效用期望都只会持平或下降，而不可能上升. 再次强调，相比定义3，纳什均衡只针对混合策略. 纳什均衡是博弈论中一种解的概念，它是指满足下面性质的策略组合：任何一位玩家在此策略组合下单方面改变自己的策略（其他玩家策略不变）都不会提高自身的收益。 试想一个简单的博弈，张三和李四这两个员工都想要加薪。
纳什证明了在每个参与者都只有有限种策略选择并允许混合策略的前提下，纳什均衡定存在。 故“纯策略纳什均衡”，即参与之中的所有玩家都使用纯策略；而相应的“混合策略纳什均衡”，之中至少有一位玩家使用混合策略。 B企业知道，A企业是否允许它进入，取决于A企业阻挠B企业进入所花费的成本。 纳什平衡 如果阻挠的成本低，A企业的占优战略是阻挠，博弈有重复剔除的占优战略均衡——A阻挠，B不进入。
纳什平衡: 纳什均衡的存在性证明
同样配置的手机，A卖3000，B就卖2900。 A看B便宜卖的好，也降价，降到2800，B紧跟着就降到2600。 然而納許對平衡的定義比庫爾諾的更為廣泛，也比帕勒托效率平衡的定義更為廣泛，因為納許的定義沒有針對「形成哪種平衡最為理想」作出評判。 行动前，不用也不需要从其他“小猪”那里得到肯定；行动时，认同且跟随你的“小猪”越多，则你出错的可能也就越大。
简单地说，就是不要从众，而是跟随“大猪”。 例如，当庄家在底位买入大量股票后，已经付出了相当多的资金和时间成本，如果不等价格上升就撤退，就只有接受亏损。 因为，小猪踩踏板将一无所获，不踩踏板反而能吃上食物。
纳什平衡: 混合策略纳什均衡
纳什均衡之所以伟大，就因为它普通，而且普通到几乎无处不在。 纳什平衡 纳什均衡理论既适用于人类的行为规律，也适合于人类以外的其他生物的生存、运动和发展的规律。 纳什均衡和博弈论的桥梁作用，使经济学与其他社会科学、自然科学的联系更加紧密，形成了经济学与其他学科相互促进的良性循环。 纳什平衡 一个策略组合被称为纳什均衡，当每个博弈者的均衡策略都是为了达到自己期望收益的最大值，与此同时，其他所有博弈者也遵循这样的策略。
混合战略博弈均衡中要用概率计算，因为每一种策略都是随机的，达到某一概率时，可以实现支付最优。 因为机率是连续的，所以即使战略集合是有限的，也会有无限多个混合战略。 纳什证明了在每个参与者都只有有限种策略选择、并允许混合策略的前提下，纳什均衡一定存在。 以两家公司的价格大战为例，纳什均衡意味着两败俱伤的可能：在对方不改变价格的条件下，既不能提价，否则会进一步丧失市场；也不能降价，因为会出现赔本甩卖。 于是两家公司可以改变原先的利益格局，通过谈判寻求新的利益评估分摊方案，也就是Nash均衡。
纳什平衡: 混合策略纳什均衡原理
但是，他能够正确地预测到其他参与人的选择与其各自的有关类型之间的关系。 纳什均衡是一个优美且强大的数学模型，它可以解决很多博弈论问题，但在一些对称博弈环境中捉襟见肘。 纳什平衡 对于初学者而言，纳什方法假设玩家具备无限的计算能力，而现实环境中几乎不存在这种情况。 注：博弈论也称Game Theory，一场博弈用G表示，Si表示博弈方i的策略，ui表示收益。 现在我们以GOO公司为第一人称视角来思考应对SAM公司的博弈策略。
- 因此，很多非对称博弈场景很难利用纳什均衡实现。
- 在上述例子中，阻挠成本就是A的私人信息。
- 严格占优策略均衡、重复剔除的占优策略均衡、纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡。
- 显然，这两个博弈不存在纳什均衡，而类似的例子还有很多。
- 它是每一个参与者所选择的一种行为，可使没有参与者会改变这种行为，因为改变会使其不是最优选择；或者说在考虑其他参与者是理智的，也会选择他们的最优策略的情况下，纳什均衡是某参与者的最佳选择。
假设狮子E睡着了，狮子F敢不敢吃掉狮子E？ 答案是肯定的，因为在狮子F的后面已没有其它狮子，所以狮子F可以放心地吃掉午睡中的狮子E。 Players(参与者)：是指参与到游戏中的具有理智的实体。 例如拍卖会上的竞价者、玩剪刀-石头-布的玩家、参加竞选的政客。
纳什平衡: 纳什均衡囚徒困境
更不知道让“大猪”们去表现，在“大猪”们拉动股票价格后从中获取利润，才是“小猪”们的最佳选择。 由此看到，散户和机构的博弈中，散户并不是总没有优势的，关键是找到有大猪的那个食槽，并等到对自己有利的游戏规则形成时再进入。 一旦已经付出，机构投资者是不太甘心就此放弃的。 而中小散户，不太可能事先支付这些高额成本，更没有资金控盘操作，因此只能采取小猪的等待策略。
“智猪博弈”告诉我们：在一个双方公平、公正、合理和共享竞争环境中，有时占优势的一方最终得到的结果却有悖于他的初始理性。 答案是：小猪将选择“搭便车”策略，也就是舒舒服服地等在食槽边；而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。 纳什平衡 现实中的不排队加塞，你瞅啥我瞅你咋地，学生打小抄老师监考都可以用纳什均衡解释。 但是纳什均衡最著名的一个例子是囚徒困境，咱们下节详细讲。
纳什平衡: 纳什均衡重要影响
举例来说，两个玩家同时说出数字，说出更大数字的玩家获胜；或者，两个玩家同时说出小于1的实数，说出更大数字的玩家获胜。 纳什平衡 显然，这两个博弈不存在纳什均衡，而类似的例子还有很多。 如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。
